Définition :
Soient \(D\) une droite et \(A\) un point
On pose $${{S_D(A)}}:={{A+2\overrightarrow{AP_D(A)} }}$$
L'application ainsi définie est appelée symétrie (axiale) par rapport à \(D\)
(Droite, Point)
Proposition :
\(S_D(A)\) est l'unique point tel que \(P_D(A)\) soit le milieu de \([AS_D(A)]\)
(Projection orthogonale - Projeté orthogonal)
Proposition :
Si \(A\notin D\), \(S_D(A)\) est l'unique point tel que \(D\) soit la médiatrice de \([AS_D(A)]\)
(Médiatrice)
Proposition :
Soient \(D=D_{A,\vec u}\) une droite et \(\vec v\) un de ses vecteurs normaux
Alors $$S_D:A+\lambda\vec u+\mu\vec v\mapsto {{A+\lambda\vec u-\mu\vec v}}$$
(Droite)
Proposition :
Les symétries axiales sont des isométries affines
(Isométrie, Fonction affine)
Proposition :
Les symétries axiales sont leur propre inverse
Proposition :
L'ensemble des points fixes de \(S_D\) est \(D\)
Proposition :
Nous avons l'équivalence : $${{D_1=D_2}}\iff S_{D_1}=S_{D_2}$$
Proposition :
Soit \(\theta\pmod\pi\) l'angle orienté entre deux droites \(D_1\) et \(D_2\) sécantes en \(A\)
Alors $${{S_{D_2}\circ S_{D_1} }}={{R_{A,2\theta} }}$$
(Rotation linéaire)
Proposition :
Soient \(D_1,D_2\) deux droites parallèles avec \(D_2=D_1+\vec v\), où \(\vec v\) est un vecteur normal aux deux droites
Alors $${{S_{D_2}\circ S_{D_1} }}={{T_{2\vec v} }}$$
(Translation)**
